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    1. 正基元齒輪 齒輪嚙合預備知識·坐標變換

      直角坐標系(坐標系)
      在三維空間中,任選一點o,過o點做三條相互垂直的直線ox、oy、oz(這三條直線正方向上的單位矢量分別用( 坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、 坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元表示)(圖4-1),則構成直角坐標系,通稱坐標系。點o稱坐標系原點;ox、oy、oz為坐標軸;(坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)為底矢。直角坐標系通常記作σ=[o;x,y,z]或記作σ=[o;坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元]。坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元
      一般直角坐標系分為右手系和左手系兩種類型。右手坐標系的特征是:逆時針方向旋轉,當平面xoy繞oz軸逆時針方向轉90°時,ox軸就代換了oy軸,其余依此類推。在左手坐標系中,可以發生同樣情況,只不過是沿順時針方向旋轉而已。

      基礎坐標系
      和固定空間相固連的直角坐標系,稱基礎坐標系。亦稱靜坐標系。記作σ=[o;坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元 ,坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元 ],或σ=[o;坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元]。

      動坐標系
      和運動物體固連在一起的坐標系,坐標系隨物體的運動而運動,其位置是時間t的函數,這樣的坐標系稱動坐標系。和運動物體i固連的坐標系記作σ(i)=[oi;xi,yi,zi]或記作σ(i)=[oi;坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元i,坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元i,坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元i]。

      坐標變換
      空間一點P的位置原用坐標系σ(i)的參數表示,在齒輪嚙合原理中,往往需要用與坐標系σ(i)有關的另一坐標系σ(j)內的參數表示,這種轉換關系稱坐標變換。這時稱σ(i)為舊坐標系,σ(j)為新坐標系。

      系數矩陣
      空間P點在坐標系σ(i)中的徑矢為坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(i),改為用坐標系σ(j)內的徑矢坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(j)表示,這種變換關系為:坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(j)=[A]坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(i) (坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(i)=[A]-1坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(j)) 。稱[A]為系數矩陣。σ(i)為舊坐標系,σ(j)為新坐標系,若舊坐標系原點oi,在新坐標系中的位置為oi(a,b,c),這時系數矩陣[A]可寫成:

      坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      當oi,oj兩原點重合時a=b=c=o,變成了三階系數矩陣(虛線框內形式)。矢量變換、速度變換、底矢變換、法矢變換等都可用三階系數矩陣;四階系數矩陣,僅用于新舊坐標系原點不相重合的情況。

      三階基本系數矩陣
      新舊坐標系原點重合,且相對繞一坐標軸轉過角度φ時,兩坐標系之間變換關系中的系數矩陣稱基本系數矩陣。這種情況僅用于三階系數矩陣,分下列幾種情況:
      圖4-2a所示oj、oi重合,xj、xi重合,繞x軸轉過φ角時:由σ(i)→σ(j),由σ(j)→σ(i)的系數矩陣分別為[A]xji和[A]xij

      坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      圖4-2b所示oj、oi重合,yi、yj重合,繞y軸轉過φ角時,由σ(i)→σ(j),σ(j)→σ(i)的系數矩陣分別為[A]yji和[A]yij

      坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      圖4-2c所示oj、oi重合,zj、zi重合,繞z軸轉過φ角時,由σ(i)→σ(j),σ(j)→σ(i)的系數矩陣分別為[A]zji和[A]zij

      坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      四階基本系數矩陣
      新、舊坐標系,原點不重合,且繞一坐標軸線相對轉動φ角時,兩坐標系變換關系中的系數矩陣,稱基本系數矩陣。舊坐標系原點在新坐標系中的位置見圖4-3所示。有下列情況:
      圖4-3a所示,xj、xi平行且繞xi轉過角φ,這時σ(i)→σ(j),σ(j)→σ(i)的系數矩陣為[A]xji和[A]xij

      坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      圖4-3b所示,yj、yi平行且繞yi轉過角φ,這時σ(i)→σ(j),σ(j)→σ(i)的系數矩陣為[A]yji和[A]yij

      坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      圖4-3c所示,zj、zi平行,且繞z軸轉過角φ,σ(i)→σ(j),σ(j)→σ(i)的系數矩陣為[A]zji和[A]zij

      坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      多次坐標變換
      空間一點P由坐標系σ(i)經過坐標系σ(j)、σ(k)…變換到坐標系σ(n),這時坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(i)、坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(n)的關系式可寫成坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(i)p=[A]nm…[A]kj[A]ji坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(i)p,式中[A]分別為坐標變換系數矩陣,若各系數矩陣之積用系數矩陣[A]ni表示,則坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(i)、坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(n)之間坐標變換式可寫成

      坐標變換 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

       

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