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    1. 正基元齒輪 齒輪嚙合預備知識·微分幾何學知識

      徑矢(矢徑)
      在直角坐標系中由原點o到任意點P的點矢微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=o微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,稱為點P在坐標系中的徑矢。
      設徑矢微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元在坐標軸上的投影分別為:ax微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、ay微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、az微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,則徑矢坐標式為微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=ax微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元+ay微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元+az微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,其模為微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元。若徑矢與坐標軸之間的夾角分別為α、β、γ則a=cos-1(ax/|微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元|);β=cos-1(ay/|微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元|) ;γ=cos-1(az/|微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元|)。單位徑矢在坐標軸上的分量分別為cos α、cos β、cos γ (見圖4-4)。

      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      矢量的數積(標積、內積、點積)
      矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元和矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元的數積是純量,定義為:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=|微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元||微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元|cosθ=abcosθ,θ為矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元之夾角(圖4-5)。設兩矢量的分量分別為ax、ay、az ;bx、by、bz ,則兩矢量的夾角為微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元 ,由定義可知 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2=1, 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=0,兩矢量相互垂直的充要條件是它們的數積為零。

      矢量的矢積(外積、X積)
      矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元和矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元的矢積為矢量,定義為:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=|微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元||微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元|sinθ微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,θ為微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元之夾角,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為垂直微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元所在平面Σ的單位矢量(圖4-6)。微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=-微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元 ,其坐標式為
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元
      由定義知 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=0,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元兩矢量平行的充要條件是它們的矢量積為零。

      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      矢量混合積
      矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元和矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元求矢積后再和第三個矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元求數積稱混合積,混合積是純量,若已知矢量的坐標分量,則微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元的混合積為:
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元
      由定義知(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)=(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)=(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)=-(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)=-(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)=-(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)。底矢的混合積恒等于1;三個矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元共面的充要條件是它們的混合積等于零。

      三重失積
      矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元的三重矢積定義為(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元-(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元。三重失積是矢量。

      矢量回轉定義式
      矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元繞回轉軸 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元轉過向角θ(圖4-7),得新矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,新舊矢量之間的關系式,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=(θ微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元稱矢量回轉定義式。式中θ為有向角,逆時針為正;微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元表示回轉符號。定義式的展開式為:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=cosθ微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(1-cosθ)·(ω·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)· 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元+sinθ·(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)。

      拉格朗日恒等式
      四個矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元之間的關系式:(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)·(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)=(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)-(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)稱拉格朗日恒等式。

      基本矢
      設曲線Γ在P0點處的切矢為微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,這時微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(“·”表示對弧長求導),若在P0處k≠0,則微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元沿一條法線方向,這條法線稱曲線Γ在P0點處的主法矢微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,在曲線Γ上k≠0的非逗留點P0處,令 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,稱微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為P0點處的副法矢,于是符合右手定則又互相垂直的三個單位矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元稱曲線Γ在P0點處的基本矢。三個基本矢分別組成了法面、密切面、從切面,如圖(4-8)所示。

      曲線的基本公式
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為曲線在P點處的基本矢,于是在P點處可寫出如下關系式:
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元
      這些關系式稱曲線的基本公式,式中k為曲率,τ為撓率。

      曲線的切矢
      若已知曲線Γ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(t)t1≤t≤t2為連續曲線,則曲線P0點處的切矢定義為:如微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元′(t)≠0,保證曲線Γ在P0點處切線存在,而微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元′(t0)代表這條切線方向,則稱微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元′(t0)為曲線Γ在P0點處的切矢(圖4-9)。

      法線的規范方程式
      設X、Y、Z為法線上任意點的坐標值,x、y、z為法線上給定點坐標值,法線方程為:
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元 曲面Σ:當F=F(x,y,z)時 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      曲線的法面
      若曲線Γ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(t) ,在P0點的切線為微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元′(t0),則垂直于切線的每一條直線都稱為法線,法線所在的平面稱曲線在P0點處的法面(圖4-10)。
      設法面上的流動矢量為微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,則法面的矢方程為:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元′(t0)·[微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元-微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(t0)]=0

      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      曲率
      曲線上任意點P處的曲率,表示了曲線在P點處鄰近的彎曲程度,它是一個幾何量。設P0為曲線上的固定點,P為P0的鄰近點,對應弧長分別為s0和s0+Δs,P0和P點處兩切線間的夾角為Δθ(圖4-11),則定義微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為曲線在P0點處的曲率。若曲線Γ用微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=r(s)表示,則k=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=|微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元|,若曲線Γ用微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(t) 表示,則k=|微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元′×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元″|/|微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元′|3。

      曲率線
      曲面Σ上,若一條線的切矢總沿著主方向,則該曲線稱曲面Σ上的一條曲率線。在不含有臍點的曲面上,參數曲線u、v為曲率線的充要條件是F=M=0。

      短程曲率
      如圖4-12所示,在曲面Σ上,取一條過P點的曲線Γ,并作過P點切面T, 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為Γ在P點的切矢, 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為P點處曲面Σ的法矢,令微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元= 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元 (見圖4-12),則曲線Γ上P點處的曲率矢量微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元上的投影,稱曲線Γ在P點處的短程曲率kgo kg的表達式為:kg= 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=k微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,|kg|=ksinθ,k2=kn2+kg2。

      法曲率
      設在曲面Σ上的P點處,任意微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元方向的法截線為微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,這條法截線在P點處的曲率稱為曲面Σ在P點處沿微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元方向的法曲率。
      設曲面Σ:當微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v) ,則法曲率
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元 或 kn=d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元/ds2=-d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元/d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2

      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      撓率
      若P0是曲線Γ上的任意點,P是Γ上P0點的鄰近點,Δθ(Δθ>0)為Γ線上P0點與P點處副法線之夾角,弧長 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=|Δs|,定義曲線Γ在P0點處的撓率為微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(圖4-13)。由此可見一條曲線為平面曲線的充要條件是|τ|=0 ,撓率的計算式為τ=(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元)或 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元。

      短程撓率
      在曲面Σ上,在一條異于直線的短程線的P點處,該線切線方向的撓率,稱短程撓率。微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元。短程撓率等于零是主方向的充要條件。亦即曲面上一條曲線為曲率線的充要條件是沿其方向的短程撓率恒等于零。

      界法矢
      設P(2)是齒面Σ(2)上的二界共軛點,但不是一類界限點,在P(2)點處齒面Σ(1)的單位法矢微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元0稱為齒面Σ(2)在P(2)點處的界法矢。

      漸近方向
      在曲面Σ上的P點處,一般沿不同方向微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元有不同的法曲率。特殊的kn=0的方向稱為曲面Σ在P點處的漸近方向。

      曲面的直角坐標式
      若曲面的參數矢量式為Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v) ,則坐標式可寫成:
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元
      上式稱曲面的直角坐標式(即坐標式)。

      曲面的切矢
      在曲面Σ的切平面π上,經過切點P0的每一條直線都和曲面Σ上的一些曲線相切,它們都稱Σ曲面在ρ0的一條切線,而沿這些切線方向的矢量都叫做Σ曲面的切矢。

      曲面的切面方程式
      曲面P0點處,切線所在平面稱切平面(圖4-14)。設曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v) ,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為切面上任意點P的徑矢,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元0為P0點的徑矢,則(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元-微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v)=0稱切平面方程式,亦即:
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元

      曲面的法線
      與曲面Σ上P點處的切面相垂直,且通過P點的直線稱曲面在P點處的法線。若曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v) ,則法線矢量式為:
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元 單位法矢量 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元。

      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元曲面的參數矢量式
      設u、v為曲面上的曲紋參數,并將u、v限制在區域G內(圖4-15),記作(u,v)∈G,這時曲面的表達式為Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v),稱其為曲面的參數矢量式。

      尋常點(正則點)
      設曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v),則微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v≠0的點稱曲面的尋常點,亦稱曲面上的正則點。在該點有確定的法矢。

      奇異點
      設曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v),則曲面上微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v=0的點稱奇異點。

      曲面的第一基本量
      設曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v),其上取曲線Γ:u=u(t),v=v(t),若Γ上沒有奇點,選定參數t使u′(t),v ′(t)不同時為零,于是:d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元udu+微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元vdv,則ds2=d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2=Edu2+Fdudv+Gdv2,稱第一基本齊式,式中E=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u2 ,F=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v ,G=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v2 ,三個純量稱第一基本量。第一齊式的判別式為:EG-F2=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u2微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v2-(微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v )2,于是D= 或 。

      曲面的第二基本量
      設曲面Σ上的任意曲線Γ:u=u(t),v=v(t),則稱-d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=Ldu2+2Mdudv+Ndv2的右側為曲面的第二基本齊式。稱L=-微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u,M=-微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元u·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v,N=-微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元v為第二基本量。

      主曲率
      在曲面Σ上的非臍點P處,沿不同的微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元方向的法曲率是不相等的,稱其中具有最大值和最小值的法曲率為曲面Σ在P點處的主曲率。
      設曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v)則主曲率可由公式:(EG-F2)kn2-(EN-2FM+GL)kn+(LN-M2)=0 求解。

      主方向
      在曲面Σ上的非臍點處,主曲率所在的切矢方向稱主方向。主方向微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2總是相互垂直的。對于臍點一切方向都是主方向。參數曲線u、v方向為主方向的充要條件是F=M=0,設曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v),則Σ上任意點處的主方向可由下式確定:
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元
      若k1、k2分別表示Σ上P點處主方向du=0,dv=0的主曲率,于是單位切矢微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2

      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元組成正交的右手系微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1×微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元 (圖4-16)。

      中曲率
      曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v)上任意點P處,若主曲率為k1、k2,則定義 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為中曲率。

      全曲率
      曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v)上任意點P處的主曲率為k1、k2,則定義 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為全曲率。

      梅尼埃定理
      設曲面曲線Γ在任意點P處的主法矢微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元和曲面法線之夾角為θ,若對于微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=cosθ≠0的方向微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,kn=k cosθ,則表明了曲面上,任意沿微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元方向的曲線的曲率k和沿該方向的法曲率kn的關系,稱kn=k cos θ為梅尼埃(Meusnier)定理。

      羅德里克方程
      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元在不含有臍點的曲面上,任意點P處d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元、d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元為沿著一個主方向的微分,kn表示沿這個主方向的主曲率k1或k2,則式d微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=-knd微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元稱羅德里克(Rodriques)方程。

      歐拉公式
      P為曲面Σ:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元(u,v)上的一非臍點,且在P點附近,一個整片曲面內沒有臍點,選擇參數曲線u,v為曲率線,φ為主方向到任意切矢微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元的有向角(圖4-17),則kn=k1cos2φ+k2sin2φ稱歐拉(Euler)公式,它表明了任意方向微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元的法曲率kn和兩個主曲率之間的關系。

      相對漸近方向
      曲面Σ(1)、Σ(2)在P點相切觸,在P點處相對法曲率等于零的方向,稱相對漸近方向。

      相對曲率
      對于“有向平面”上的“有向曲率”引進的曲率概念稱相對曲率。

      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元相對主曲率
      設曲面Σ(1)、Σ(2)在P點相切觸。在P點處相對法曲率的最大和最小值稱相對主曲率。其值kn1(12),kn2(12)=H(12)±R(12)。

      相對主方向
      設曲面Σ(1)、Σ(2)在P點相切觸,在P點處相對主曲率所在的方向 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1(12), 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2(12)(圖4-18)稱相對主方向。兩相對主方向相互垂直 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1(12)微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元2(12)。且-R(1)sin2a+R(2)sin2(φ-φ1)=0。

      相對中曲率
      給定條件與“相對法曲率”相同,定義:H(12)=H(1)-H(2)為相對中曲率,它等于任意兩個相互垂直方向的相對曲率的平均值。

      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元相對全曲率
      設曲面Σ(1)、Σ(2)在P點相切觸,定義:在切觸點P處相對主曲率k1(12)、k2(12)之積稱曲面Σ(1)、Σ(2)在切觸點P處的相對全曲率。K(12)=k1(12)·k2(12)=H(12)-R(12)。

      相對法曲率
      設曲面Σ(1)、Σ(2)在P點相切觸,有相同的單位法矢,任意方向微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元的法曲率分別為kn(1)、kn(2),定義:kn(12)= kn(1)-kn(2)為相對法曲率。如圖(4-19)所示,φ1、φ分別為 微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1(1)微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1(2)、微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1(1)微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元的有向角,于是有:
      kn(12)=H(12)+R(1)cos2φ-R(2)cos(φ-φ1)
      式中,R(1)、R(2)分別為曲面Σ(1)、Σ(2)在P點處的曲撓圓半徑。

      微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元相對短程撓率
      曲面Σ(1)、Σ(2)在P點處相切觸,有相同的法矢微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元,、τg(2)分別為兩曲面的短程撓率(見圖4-20),定義:τg(12)g(1)g(2)為相對短程撓率。于是τg(12)=-R(1)sin2φ+R(2)sin2(φ-φ1)。R(1)、R(2)為曲撓圓半徑。

      貝特朗公式
      在曲面Σ上的P點處,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元1微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元的夾角為φ,τg=(k2-k1)sinφcosφ稱貝特朗(Bertrand)公式。它表示了主曲率(k1,k2)和短程撓率τg之關系。若微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元是主方向,則τg=0。

      短程線
      曲面Σ上短程曲率恒等于零的曲線Γ稱短程線。曲面Σ上的曲線成為短程線的充要條件是,曲線上的主法線處處和曲面法線重合,即:微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元·微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元=0,微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元微分幾何學知識 - 嚙合原理及預備知識 - 齒輪知識 - 正基元。

       

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