齒輪嚙合預備知識·微分幾何學知識

徑矢(矢徑)
在直角坐標系中由原點o到任意點P的點矢=o，稱為點P在坐標系中的徑矢。
設徑矢在坐標軸上的投影分別為：a_x、a_y、a_z，則徑矢坐標式為=a_x+a_y+a_z，其模為。若徑矢與坐標軸之間的夾角分別為α、β、γ則a=cos^-1(a_x/||)；β=cos^-1(a_y/||) ；γ=cos^-1(a_z/||)。單位徑矢在坐標軸上的分量分別為cos α、cos β、cos γ (見圖4-4)。

矢量的數積(標積、內積、點積)
矢量和矢量的數積是純量，定義為：·=||||cosθ=abcosθ，θ為矢量、之夾角（圖4-5）。設兩矢量的分量分別為a_x、a_y、a_z ；b_x、b_y、b_z ，則兩矢量的夾角為 ，由定義可知 ²=²=²=1， ·=·=·=0，兩矢量相互垂直的充要條件是它們的數積為零。

矢量的矢積(外積、X積)
矢量和矢量的矢積為矢量，定義為：×=||||sinθ，θ為、之夾角，為垂直、所在平面Σ的單位矢量（圖4-6）。×=-× ，其坐標式為

由定義知 ×=×=×=0，×=，×=，×=兩矢量平行的充要條件是它們的矢量積為零。

矢量混合積
矢量和矢量求矢積后再和第三個矢量求數積稱混合積，混合積是純量，若已知矢量的坐標分量，則、、的混合積為：

由定義知（、、）=（，，）=（，，）=-（，，）=-（，，）=-（，，）。底矢的混合積恒等于1；三個矢量、、共面的充要條件是它們的混合積等于零。

三重失積
矢量、、的三重矢積定義為（×）×=（·）·-（·）·。三重失積是矢量。

矢量回轉定義式
矢量繞回轉軸 轉過向角θ（圖4-7），得新矢量，新舊矢量之間的關系式，=（θ）稱矢量回轉定義式。式中θ為有向角，逆時針為正；表示回轉符號。定義式的展開式為：=cosθ(1-cosθ)·（ω·）· +sinθ·(×)。

拉格朗日恒等式
四個矢量、、、之間的關系式：（×）·（×）=（·）（·）-（·）（·）稱拉格朗日恒等式。

基本矢
設曲線Γ在P₀點處的切矢為，這時⊥（“·”表示對弧長求導），若在P₀處k≠0，則沿一條法線方向，這條法線稱曲線Γ在P₀點處的主法矢，在曲線Γ上k≠0的非逗留點P₀處，令 =×，稱為P₀點處的副法矢，于是符合右手定則又互相垂直的三個單位矢量、、稱曲線Γ在P₀點處的基本矢。三個基本矢分別組成了法面、密切面、從切面，如圖（4-8）所示。

曲線的基本公式
令、、為曲線在P點處的基本矢，于是在P點處可寫出如下關系式：

這些關系式稱曲線的基本公式，式中k為曲率，τ為撓率。

曲線的切矢
若已知曲線Γ：=（t)t₁≤t≤t₂為連續曲線，則曲線P₀點處的切矢定義為：如′(t)≠0，保證曲線Γ在P₀點處切線存在，而′(t₀)代表這條切線方向，則稱′(t₀)為曲線Γ在P₀點處的切矢(圖4-9)。

法線的規范方程式
設X、Y、Z為法線上任意點的坐標值，x、y、z為法線上給定點坐標值，法線方程為：
曲面Σ：當F=F(x，y，z)時

曲線的法面
若曲線Γ：=(t) ，在P₀點的切線為′(t₀)，則垂直于切線的每一條直線都稱為法線，法線所在的平面稱曲線在P₀點處的法面(圖4-10)。
設法面上的流動矢量為，則法面的矢方程為：′(t₀)·［-(t₀)］=0

曲率
曲線上任意點P處的曲率，表示了曲線在P點處鄰近的彎曲程度，它是一個幾何量。設P₀為曲線上的固定點，P為P₀的鄰近點，對應弧長分別為s₀和s₀+Δs，P₀和P點處兩切線間的夾角為Δθ（圖4-11），則定義為曲線在P₀點處的曲率。若曲線Γ用=r(s)表示，則k==||，若曲線Γ用=(t) 表示，則k=|′×″|/|′|³。

曲率線
曲面Σ上，若一條線的切矢總沿著主方向，則該曲線稱曲面Σ上的一條曲率線。在不含有臍點的曲面上，參數曲線u、v為曲率線的充要條件是F＝M＝0。

短程曲率
如圖4-12所示，在曲面Σ上，取一條過P點的曲線Γ，并作過P點切面T， 為Γ在P點的切矢， 為P點處曲面Σ的法矢，令= × (見圖4-12)，則曲線Γ上P點處的曲率矢量在上的投影，稱曲線Γ在P點處的短程曲率k_go k_g的表達式為：k_g= ·=k·，|k_g|=ksinθ，k²=k_n²+k_g²。

法曲率
設在曲面Σ上的P點處，任意方向的法截線為，這條法截線在P點處的曲率稱為曲面Σ在P點處沿方向的法曲率。
設曲面Σ：當=(u，v) ，則法曲率
或 k_n=dd/ds²=-d·d/d²

撓率
若P₀是曲線Γ上的任意點，P是Γ上P₀點的鄰近點，Δθ(Δθ>0)為Γ線上P₀點與P點處副法線之夾角，弧長 =|Δs|，定義曲線Γ在P₀點處的撓率為（圖4-13）。由此可見一條曲線為平面曲線的充要條件是|τ|=0 ，撓率的計算式為τ=（，，）或 。

短程撓率
在曲面Σ上，在一條異于直線的短程線的P點處，該線切線方向的撓率，稱短程撓率。。短程撓率等于零是主方向的充要條件。亦即曲面上一條曲線為曲率線的充要條件是沿其方向的短程撓率恒等于零。

界法矢
設P^（2）是齒面Σ^（2）上的二界共軛點，但不是一類界限點，在P^（2）點處齒面Σ^（1）的單位法矢⁰稱為齒面Σ^（2）在P^（2）點處的界法矢。

漸近方向
在曲面Σ上的P點處，一般沿不同方向有不同的法曲率。特殊的k_n=0的方向稱為曲面Σ在P點處的漸近方向。

曲面的直角坐標式
若曲面的參數矢量式為Σ：=(u，v) ，則坐標式可寫成：

上式稱曲面的直角坐標式(即坐標式)。

曲面的切矢
在曲面Σ的切平面π上，經過切點P₀的每一條直線都和曲面Σ上的一些曲線相切，它們都稱Σ曲面在ρ0的一條切線，而沿這些切線方向的矢量都叫做Σ曲面的切矢。

曲面的切面方程式
曲面P₀點處，切線所在平面稱切平面(圖4-14)。設曲面Σ：=(u，v) ，為切面上任意點P的徑矢，₀為P₀點的徑矢，則(-，_u，_v)=0稱切平面方程式，亦即：


曲面的法線
與曲面Σ上P點處的切面相垂直，且通過P點的直線稱曲面在P點處的法線。若曲面Σ：=(u，v) ，則法線矢量式為：
單位法矢量 。

曲面的參數矢量式
設u、v為曲面上的曲紋參數，并將u、v限制在區域G內(圖4-15)，記作(u，v)∈G，這時曲面的表達式為Σ：=(u，v)，稱其為曲面的參數矢量式。

尋常點(正則點)
設曲面Σ：=(u，v)，則_u×_v≠0的點稱曲面的尋常點，亦稱曲面上的正則點。在該點有確定的法矢。

奇異點
設曲面Σ：=(u，v)，則曲面上_u×_v=0的點稱奇異點。

曲面的第一基本量
設曲面Σ：=(u，v)，其上取曲線Γ：u=u（t），v=v（t），若Γ上沒有奇點，選定參數t使u′(t)，v ′(t)不同時為零，于是：d_u=_udu+_vdv，則ds²=d²=Edu²+Fdudv+Gdv²，稱第一基本齊式，式中E=_u² ，F=_uv ，G=_v² ，三個純量稱第一基本量。第一齊式的判別式為：EG-F²=_u²_v²-(_u·_v )²，于是D= 或 。

曲面的第二基本量
設曲面Σ上的任意曲線Γ：u＝u（t），v＝v（t），則稱-d·d=Ldu2+2Mdudv+Ndv2的右側為曲面的第二基本齊式。稱L=-_u·_u，M=-_u·_v，N=-_v·_v為第二基本量。

主曲率
在曲面Σ上的非臍點P處，沿不同的方向的法曲率是不相等的，稱其中具有最大值和最小值的法曲率為曲面Σ在P點處的主曲率。
設曲面Σ:=(u，v)則主曲率可由公式：(EG-F²)k_n²-(EN-2FM+GL)k_n+(LN-M²)=0 求解。

主方向
在曲面Σ上的非臍點處，主曲率所在的切矢方向稱主方向。主方向₁和₂總是相互垂直的。對于臍點一切方向都是主方向。參數曲線u、v方向為主方向的充要條件是F=M=0，設曲面Σ：=(u，v)，則Σ上任意點處的主方向可由下式確定：

若k₁、k₂分別表示Σ上P點處主方向du=0，dv=0的主曲率，于是單位切矢₁、₂：

₁、₂、組成正交的右手系₁×₂= (圖4-16)。

中曲率
曲面Σ：=(u，v)上任意點P處，若主曲率為k₁、k₂，則定義 為中曲率。

全曲率
曲面Σ：=(u，v)上任意點P處的主曲率為k₁、k₂，則定義 為全曲率。

梅尼埃定理
設曲面曲線Γ在任意點P處的主法矢和曲面法線之夾角為θ，若對于·=cosθ≠0的方向，k_n=k cosθ，則表明了曲面上，任意沿方向的曲線的曲率k和沿該方向的法曲率k_n的關系，稱k_n=k cos θ為梅尼埃(Meusnier)定理。

羅德里克方程
在不含有臍點的曲面上，任意點P處d、d為沿著一個主方向的微分，k_n表示沿這個主方向的主曲率k₁或k₂，則式d=-k_nd稱羅德里克(Rodriques)方程。

歐拉公式
P為曲面Σ：=(u，v)上的一非臍點，且在P點附近，一個整片曲面內沒有臍點，選擇參數曲線u，v為曲率線，φ為主方向到任意切矢的有向角(圖4-17)，則k_n=k₁cos²φ+k₂sin²φ稱歐拉(Euler)公式，它表明了任意方向的法曲率k_n和兩個主曲率之間的關系。

相對漸近方向
曲面Σ^（1）、Σ^（2）在P點相切觸，在P點處相對法曲率等于零的方向，稱相對漸近方向。

相對曲率
對于“有向平面”上的“有向曲率”引進的曲率概念稱相對曲率。

相對主曲率
設曲面Σ^（1）、Σ^（2）在P點相切觸。在P點處相對法曲率的最大和最小值稱相對主曲率。其值k_n1⁽¹²⁾，k_n2⁽¹²⁾=H⁽¹²⁾±R⁽¹²⁾。

相對主方向
設曲面Σ^（1）、Σ^（2）在P點相切觸，在P點處相對主曲率所在的方向 ₁⁽¹²⁾， ₂⁽¹²⁾(圖4-18)稱相對主方向。兩相對主方向相互垂直 ₁⁽¹²⁾⊥₂⁽¹²⁾。且-R^（1）sin2a+R^（2）sin2(φ-φ₁)=0。

相對中曲率
給定條件與“相對法曲率”相同，定義：H^（12）=H^（1）-H^（2）為相對中曲率，它等于任意兩個相互垂直方向的相對曲率的平均值。

相對全曲率
設曲面Σ^（1）、Σ^（2）在P點相切觸，定義：在切觸點P處相對主曲率k₁⁽¹²⁾、k₂⁽¹²⁾之積稱曲面Σ^（1）、Σ^（2）在切觸點P處的相對全曲率。K⁽¹²⁾=k₁⁽¹²⁾·k₂⁽¹²⁾=H^（12）-R^（12）。

相對法曲率
設曲面Σ^（1）、Σ^（2）在P點相切觸，有相同的單位法矢，任意方向的法曲率分別為k_n⁽¹⁾、k_n⁽²⁾，定義：k_n⁽¹²⁾= k_n⁽¹⁾-k_n⁽²⁾為相對法曲率。如圖(4-19)所示，φ₁、φ分別為 ₁^（1）與₁^（2）、₁^（1）與的有向角，于是有：
k_n⁽¹²⁾=H^（12）+R^（1）cos2φ-R^（2）cos(φ-φ₁)
式中，R^（1）、R^（2）分別為曲面Σ^（1）、Σ^（2）在P點處的曲撓圓半徑。

相對短程撓率
曲面Σ^（1）、Σ^（2）在P點處相切觸，有相同的法矢，、τ_g⁽²⁾分別為兩曲面的短程撓率(見圖4-20)，定義：τ_g⁽¹²⁾=τ_g⁽¹⁾-τ_g⁽²⁾為相對短程撓率。于是τ_g⁽¹²⁾=-R⁽¹⁾sin2φ+R⁽²⁾sin2(φ-φ₁)。R^（1）、R^（2）為曲撓圓半徑。

貝特朗公式
在曲面Σ上的P點處，₁和的夾角為φ，τ_g=(k₂-k₁)sinφcosφ稱貝特朗(Bertrand)公式。它表示了主曲率（k₁，k₂）和短程撓率τ_g之關系。若是主方向，則τ_g=0。

短程線
曲面Σ上短程曲率恒等于零的曲線Γ稱短程線。曲面Σ上的曲線成為短程線的充要條件是，曲線上的主法線處處和曲面法線重合，即：·=0，=±。

齒條 | 圓柱齒輪 | 圓錐齒輪 | 蝸輪蝸桿 | 非圓齒輪 | 特種齒輪
首頁 | 進口齒條 | 進口齒輪 | 齒輪標準 | 詢價必讀 | 齒輪知識 | 網站地圖
電話：010-6492-5308 | 傳真：010-6492-5744 | 郵件: sales@gearandrack.cn


2003-2012年北京正基元齒輪有限公司版權所有。本網站由北京正基元齒輪有限公司設計、制作、維護。
本網站上的任何內容，未經正基元公司的書面授權，均不得以任何方式復制、轉載、或鏡像，否則將追究其違權責任。