嚙合原理·共軛曲面的嚙合理論

嚙合
一對齒輪的共軛齒面依次交替的接觸，從而實現齒輪有規律的相對運動過程和形態，稱齒輪副的嚙合。

嚙合點
齒輪副的共軛齒面∑^（1）與∑^（2）在嚙合過程中的每一時刻t，至少有一個點相切觸，這個切觸點稱共軛齒面∑^（1）與∑^（2）在時刻t的嚙合點。

嚙合極點
齒輪副在嚙合過程中，嚙合線的界限點稱嚙合極點。如圖4-21所示，平行軸外嚙合漸開線齒輪副，在端平面內，嚙合線與基圓的切點N1、N2即嚙合極點。若齒輪頂圓越過了嚙合極點，則要產生嚙合干涉或切削干涉(或稱切齒干涉)。

共軛齒廓
一對相嚙合廓，若在整個嚙合過程中，不但能按照既定的運動規律運動，而且在每個時刻t，兩齒廓的接觸點都滿足條件式 ·^（12）=0，則稱這一對相嚙齒廓為共軛齒廓。

共軛曲面
曲面∑^（2）是坐標系σ^（2）里的曲面族{∑^（1）}的包絡面，∑^（2）由曲面∑^（1）及∑^（1）和∑^（2）的相對運動而定。曲面∑^（2）就稱作∑^（1）在這個相對運動條件下，曲面∑^（1）的共軛曲面，若∑^（1）：^（1） =^（1）(u，v)，則共軛曲面∑^（2）的方程式為：


共軛曲面的對稱性
有共軛曲面∑^（1）、∑^（2），若曲面∑^（2）是曲面族{∑^（1）}的包絡面，反之曲面∑^（1）亦是曲面族{∑^（2）}的包絡面，則曲面∑^（1）、∑^（2）互為包絡面的特性稱共軛曲面的對稱性。在一般情況下沒有這種對稱性。具有對稱性的條件是：∑^（1）上沒有一界共軛線；∑^（1）上沒有二類界限線，即沒有非工作區；兩條接觸線只取被二類界限線分成兩段中的一段(即只進入一次接觸)。

共軛嚙合理論
設共軛曲面∑^（1）、∑^（2）的轉角分別為dφ1、dφ2，，S為嚙合面，揭示∑^（1）、∑^（2）、φ1、φ2、S， 之間關系的規律性問題，則為共軛嚙合理論，一般分三種情況：
第一類問題是已知∑^（1）、∑^（2）與∑^（1）的運動參數φ1、φ2，求∑^（2）及S；第二類問題是已知S、φ1、φ2求∑^（1）、∑^（2）；第三類問題是已知∑^（1）、∑^（2）和∑^（1）(或∑^（2）)的運動參數φ1(或φ2 )，求S及∑^（2）(或∑^（1）)的運動參數φ2(或φ1)。

齒廓法線法
在平面齒輪副中，常通過已知齒輪1，用齒廓法線法求共軛齒廓2。齒廓法線法是指利用給定的齒廓1，按照齒輪副的運動規律和威利斯定理，求得瞬時嚙合點，這些點在靜坐標系中的軌跡是嚙合線，在σ^（2）的坐標系中，嚙合點(切觸點)的軌跡是齒廓2，這種求共軛齒廓2的方法，即齒廓法線法。

運動學法
在齒輪嚙合原理中，用運動學法討論齒面共軛嚙合問題有普遍意義和廣泛用途。其理論依據是：在共軛齒面嚙合點處，相對運動速度^（12），位于共軛齒面嚙合點處的公切面內，亦即嚙合點處的公法矢和相對運動速度^（12）垂直，即 ·^（12）=0。

齒輪共軛的三個基本條件
一對齒輪能配對組成共軛嚙合的齒輪副，必須滿足三個基本條件：兩齒輪相嚙齒面上的一對共軛點在接觸位置時必須重合；兩齒輪相嚙共軛齒面，在接觸點處必須相切，同時兩共軛曲面的實體必須錯開（₁=-₂）以免發生曲率干涉；兩相嚙共軛齒面，在共軛接觸點處的相對運動速度必須位于其公切面內，亦即相對運動速度與接觸點處的公法線垂直，·^（12）=0。

特征點
假定{St}曲面族中St上沒有奇點，有包絡面Σ存在，共方程為：=(u，v)(或=(v，t))，設Φu、Φv不同時為零，這時在Σ上_u×_t=0的點稱Σ上的特征點，即∑上的奇點，其條件是Φ(u，v，t)=0、φ(u，v，t)=0。

特征線
設曲面族{St}，有包絡面∑存在，則St和Σ在一般情況是線接觸，而不是點接觸。這條接觸曲線Ct稱為St上的特征線，亦即通常所謂的瞬時接觸線，Ct是時間t的函數，Ct的集合即包絡面Σ。

共軛點
滿足嚙合條件的共軛齒面∑^（1）和∑^（2）上的點M^（1）與M^（2），在時刻t相重合(嚙合)則稱M^（1）與M^（2）為共軛齒面上的共軛點。

嚙合函數
設齒面Σ：=(u，v)，令Φ(u，v，t)= ·^（12）=0稱Φ為嚙合函數。作為數積的Φ，可以在不同的坐標系里計算，若取 為齒面在嚙合點處的單位法矢，則稱Φ為狹義嚙合函數，若用一個函數Φ(u，v，t)=0代替函數Φ(u，v，t)，當 為零時仍然是嚙合點的充要條件，則稱為廣義嚙合函數。如不是以單位矢量代入時，即為廣義嚙合函數。

廣義嚙合函數
見“嚙合函數”。

嚙合方程式
齒面∑^（1）、∑^（2）在嚙合點處的公法線，垂直于該點處兩齒面的相對運動速度 ^（12），其數學表達式為：·^（12）=0，該式稱嚙合方程式。它是齒面接觸點成為共軛嚙合點的充要條件。

嚙合參數方程式
嚙合方程式·^（12）=0寫成參數形式為：Ucosφ-Vsinφ=M。

稱上式為嚙合參數方程式，式中U、V、M為以坐標參數表示的算式，不同情況有不同形式。為便于分析問題通常又寫成：
。

接觸方程式
設曲面族{St}中的曲面St：=(u，v)，其包絡面存在，設其矢量方程Σ： ^*=^*(u^*，v^*)。若St沒有奇點，則Φ(u，v，t)≡(_u，_v，_t)=0(這時Φ_u，Φ_v不同時為零)稱為接觸方程式，這時包絡面方程式為：


接觸線法線
在接觸點處，齒面∑^（1）與∑^（2）公切面的法線稱在該點處接觸線法線。

嚙合面
共軛齒面∑^（1）、∑^（2）在嚙合過程中嚙合線的集合面稱嚙合面，一般情況下嚙合面是位在靜坐標系中的空間曲面，在特殊情況下也可能是平面，如漸開線圓柱齒輪副，其嚙合面即是兩齒輪基圓柱面的公切面。

嚙合曲面
一對齒輪副的共軛齒面，在嚙合過程中，嚙合線的軌跡曲面，亦即齒面瞬時接觸線在固定坐標系里的軌跡曲面，稱嚙合曲面。
對平行軸齒輪副，嚙合曲面也就是該齒輪副在各個端截面上的端面嚙合線組成的曲面。

接觸線(瞬時接觸線)
共軛齒面∑^（1）、∑^（2）在嚙合過程中，在某一時刻t齒面∑^（1）、∑^（2）上接觸點的集合稱接觸線，亦稱瞬時接觸線。若動坐標σ^（1）與σ^（2）分別和齒輪1、2固連，則接觸線在動坐標σ^（1）、 σ^（2）里的集合分別形成齒面∑^（1）、∑^（2）。
亦即齒輪副相嚙齒面在嚙合過程中在某一瞬時所有接觸點在齒面上的集合線。圖4-22所示為平行軸漸開線斜齒圓柱齒輪副的接觸線。

瞬時接觸點(接觸點)
兩相嚙共軛齒輪，在某一瞬時齒廓的公切點，稱瞬時接觸點亦稱切觸點。瞬時接觸點與齒面上的共軛點相重合(圖4-23)。

嚙合線
共軛齒面∑^（1）、∑^（2）在嚙合過程中，嚙合點在靜坐標系σ中的集合線稱嚙合線。

嚙合平面
嚙合平面是嚙合曲面的特例，如平行軸漸開線齒輪副的嚙合曲面蛻化成和兩基圓柱相切的公切面，亦即漸開面(或漸開螺旋面)的發生面(圖4-22)。

嚙合區域
一對共軛輪齒，從開始進入嚙合，到終止退出嚙合，嚙合線所構成的實際(真實)嚙合面，稱嚙合區域。如平行軸漸開線圓柱齒輪副嚙合區域是嚙合面上的一個矩形面積。亦即嚙合曲面上有效共軛齒面嚙合的區域。

非工作區域
由嚙合參數方程式可知，當M²>U²+V2²時，cos(δ+φ)無解，即這些點不滿足共軛條件，不參于嚙合，這些點的集合形成了齒面上不參于嚙合的區域，稱為非工作區。見“二次接觸作用”。

齒面工作區域
在齒面∑^（1）上，既不含有二類界限點，又不含有一界共軛點，只含有共軛嚙合點的領域；在齒面∑^（2）上，不含有一類界限點，也不含有二界共軛點，只有共軛嚙合點的領域，統稱齒面工作區(圖4-28)。

相嚙輪齒的追越面和被追越面
兩個相對滾動兼滑動的滾子，在接觸線上周速大的輥子表面稱追越面，周速小的輥子表面稱被追越面。齒輪副中兩相嚙輪齒表面，具有相對滾動兼滑動的運動狀態，隨著嚙合點(或線)的位置變化，速度大小也在變化，節線以上齒面(暫稱上齒面)和節線以下齒面(暫稱下齒面)相嚙時，上齒面的齒面切向速度，總大于下齒面的齒面切向速度。按其定義，一對相嚙齒面，其上齒面總是追越面，下齒面總是被追越面。定義齒輪輪齒追越面和被追越面的目的是為了研究點蝕機理。

相對（瞬時）螺旋運動軸
在每個時刻t，齒輪副共軛嚙合點處的相對運動是相對螺旋運動，螺旋運動軸a-a稱為相對(瞬時)螺旋軸，軸上各點滿足條件⁽¹²⁾×⁽¹²⁾=0。若設X、Y、Y為螺旋軸上任意的坐標，則：

示圖見“相對螺旋運動”。

相對螺旋運動
在每個時刻t，齒輪副共軛齒面切觸點處的相對運動，可以轉化成既繞a-a軸轉動，又沿a-a軸方向移動的運動，稱為相對螺旋運動(圖4-24)。在時刻t，若⁽¹²⁾=0，則螺旋運動蛻化成平動。
相對螺旋運動參數為

瞬時軸
在平行軸和相交軸齒輪副中，兩齒輪作相對回轉運動的軸線；在交錯軸齒輪副中，兩齒輪作相對(瞬時)螺旋運動的軸線，通常亦稱瞬時軸。

共軛軸
在交錯軸齒輪副中，兩齒輪的相對運動，是相對螺旋運動，若把相對螺旋運動分解成兩個分轉動，稱分轉動的兩條軸線為共軛軸，共軛軸不是唯一的，當相對螺旋運動給定后，可分解成多組分轉動，故共軛軸亦有多對。

轉軸
動點回轉運動的繞軸為轉軸，其特點是軸上各點的軸向速度x=0，對于相對運動，稱相對運動轉軸，軸上各點的相對運動速度⁽¹²⁾=0。

滾動接觸的共軛曲面
若一對共軛曲面接觸點處的相對運動速度⁽¹²⁾恒等零(⁽¹²⁾≡0) ，則稱這對共軛曲面為在既定的兩軸間相對運動條件下的一對滾動接觸共軛曲面。亦稱節面。

共軛環面
環面可作為齒輪齒面，若兩齒輪組成共軛齒輪副，則這兩個齒輪的齒面為共軛曲面，稱共軛環面，共軛環面有兩個主要特點：
定理1：以平行軸或相交軸齒輪副，兩節曲面上的齒線Γ1和Γ2為基線，則母圓半徑相等的兩環面F1和F2為線接觸的共軛環面(共軛曲面)，在任意瞬時兩共軛環面的接觸線是圓心位于瞬時軸上的母圓。
定理2：對于兩齒面為環面的任意齒輪副，若齒輪副按給定規律運動時，兩環面的基線恒保持相切，則兩環面在該運動條件下互為共軛曲面(互為共軛環面)瞬時接觸線是以兩基線的切點為圓心的母圓。

瞬心線
齒輪1相對齒輪2，或齒輪2相對齒輪1，在共軛嚙合過程中，瞬時中心P在與兩齒輪固連的動坐標中，形成的兩條純滾動且在P點相切的曲線稱齒輪副的瞬心線。它是兩瞬軸面與齒輪端平面的交線。設切點P(瞬心)到齒輪回轉中心的距離分別為r1′和r2′，則中心距a≡r1′+r2′。對于定傳動比的齒輪副，瞬心線是兩個相切的圓(圖4-25 a)，齒條副是一個圓和一條相切的直線(圖4-25 b)。變傳動比齒輪副是兩條相切的閉合曲線(圖4-25 c)，齒條副是一條閉合曲線和一條相切的曲線(圖4-25 d)。

瞬軸面
齒輪副的相對(瞬時)螺旋運動軸b-b，分別繞齒輪軸 ⁽¹⁾、⁽²⁾轉動所形成的軌跡回轉面稱為齒輪l、2的瞬軸面，齒輪副的兩個瞬軸面相切。不同類型的齒輪副，具有不同的瞬軸面，當i₁₂=常數時，平行軸齒輪副的瞬軸面是圓柱面圖4-26 a；相交軸齒輪副的瞬軸面為圓錐面圖4-26 b；交錯軸齒輪副的瞬軸面是雙曲面圖4-26 c。

輪齒接觸分析
一種采用數學方法確定一對嚙合區接觸的理論形狀和位置的方法。

共軛方向
設c⁽¹⁾是齒面∑⁽¹⁾上經過P⁽¹⁾點的任意曲線，c⁽²⁾是齒面∑⁽²⁾上經過P⁽²⁾點的曲線，若齒面∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾在嚙合過程中，在時刻t₀，P⁽¹⁾、P⁽²⁾點重合（嚙合）這時稱c⁽¹⁾、c⁽²⁾ 的方向的共軛方向。

脊線
給定條件見“包絡面”。若包絡面上的特征線族有包絡線Γ存在(圖4-27)，則Γ線稱為∑上的脊線，亦稱曲面{St}上的脊線。脊線上的點一般為包絡面上的奇點，脊線上的點都是特征點。

一類界限點
齒面∑⁽²⁾是齒面族{∑⁽¹⁾}的包絡面，∑⁽²⁾(或{∑⁽¹⁾}的特征點稱∑⁽¹⁾的一類界限點，又稱根切界限點。一類界限點處的特點是 。一類界限點的條件是Φ(u，v，t)=Ψ(u，v，t)=0

式中，Ψ(u，v，t)稱為一類界函數。

一類界限線
一類界限點在齒面∑⁽²⁾上的集合(軌跡)線稱一類界限線，一類界限線是齒面∑⁽²⁾上的脊線。若將齒面∑⁽¹⁾作為刀具刃面，當∑⁽¹⁾的齒面超過∑⁽²⁾上的一類界限線時，與其共軛線的齒面∑⁽²⁾則要產生根切。故又稱一類界限線為根切界限線，其數學式為


一類界函數
滿足一類界限點條件的函數式Ψ(u，v，t)=0稱一類界函數，(見“一類界限點”)，一類界函數亦分廣義和狹義兩種界函數。

一界共軛點
齒面∑⁽¹⁾上滿足條件Φ=Ψ=0的點，和∑⁽²⁾上的一類界限點一一對應，這些點稱齒面∑⁽²⁾上一類界限點在齒面∑⁽¹⁾的共軛點，簡稱一界共軛點。一界共軛點在∑⁽¹⁾上不是奇點。

一界共軛線
一界共軛點在齒面∑⁽¹⁾上的集合線稱一界共軛線。一界共軛線不是∑⁽¹⁾上的脊線，它不是奇點的集合，然而，若∑⁽¹⁾作為刀具刃面，∑⁽¹⁾的齒面超過了一界共軛線，則加工∑⁽²⁾時將產生根切。

二類界限點
齒面∑⁽¹⁾與齒面∑⁽²⁾在嚙合過程中，齒面∑⁽¹⁾存在參于嚙合和不參于嚙合的兩部分，這兩部分的分界點稱二類界限點。其特征是: ， �！�⁽¹⁾上的點成為二類界限點的條件是：Φ1(u，v，t)=Φ(u，v，t)=0。

二類界限線
二類界限線是二類界限點在齒面∑⁽¹⁾上的集合線。它把齒面∑⁽¹⁾分成工作區和非工作區兩部分(圖4-28)。

二類界函數
在齒面∑⁽¹⁾上滿足二類界限點的充要條件之一的函數式：Φt(u，v，t)=0稱二界函數。有狹義二類界函數和廣義二類界函數之分。

二界共軛點
齒面∑⁽²⁾上和齒面∑⁽¹⁾上的二類界限點一一對應的點，稱∑⁽²⁾上的二界共軛點。亦即在齒面∑⁽²⁾上，滿足條件式Φt=Φ=0的點，稱為∑⁽¹⁾上二類界限點的二界共軛點。

二界共軛線
在齒面∑⁽²⁾上，二界共軛點的集合線，稱為∑⁽¹⁾上二類界限線在齒面∑⁽²⁾上的二界共軛線。

二界法曲率
在二類界限點處，ψ≠0，v⁽¹²⁾≠0，于是P點為∑⁽²⁾上的二界共軛點，但不是一類界限點(嚙合點)，故在P點處ψ≠0，這時稱P點處沿 ⁽¹²⁾方向的法曲率稱二界法曲率。

一次接觸作用
由“嚙合參數方程式”可知，當M²=U²+V²時cos(σ+φ)只有一個解，亦即在共軛齒面上滿足此條件的點，齒輪轉一周的時期內，齒面只能一次進入嚙合，這種現象稱一次接觸作用。這些一次作用點，在齒面∑⁽¹⁾上的集合即二類界限線，它把齒面∑⁽¹⁾分成了工作區和非工作區兩部分。見圖4-29。

二次接觸作用
由“嚙合參數方程式”可知，當M²＜U²+V²時cos(σ+φ)有兩個解，這些點位在嚙合區內，當齒輪轉一周時，它們將兩次進入嚙合，這種現象稱二次接觸作用。由圖示可看出，在嚙合區內，接觸線是彼此相交的，其交點就是在不同時刻兩次進入嚙合的點，在嚙合區內所有點都有兩次進入嚙合的可能(圖4-29)。

滑動角
共軛齒面在嚙合點處，相對運動速度⁽¹²⁾與該點處接觸線切線方向所夾銳角θt稱滑動角。它表明了⁽¹²⁾在和方向分量大小，體現了嚙合點處的潤滑條件，該角θt越接近90°，表明⁽¹²⁾在法線方向分量越大，在切線方向的分量越小，這時共軛齒面間的潤滑條件越優。設法線方向的固定矢為 ^*，則：
式中，相對運動速度 。

潤滑角
共軛齒面在嚙合點處，法線矢量和相對運動速度矢量⁽¹²⁾之間所夾的銳角，稱潤滑角。它和滑動角互為余角θv =90-θt 。見圖4-30。

嚙合軸
傳動比為常數的齒輪副，在共軛嚙合過程中，齒面∑⁽¹⁾與∑⁽²⁾在嚙合點處的公法線都通過一條空間固定直線，這條直線稱為齒錐副的嚙合軸，在平行軸和相交軸齒輪副中，僅有一條嚙合軸，位在兩齒輪軸線所在的平面內，且和相對螺旋軸重合。交錯軸齒輪副有兩條嚙合軸。如∑=90°的蝸桿副，嚙合軸的位置為Ⅰ-Ⅰ(X^I，K^I)和Ⅱ-Ⅱ( X^Ⅱ，K^Ⅱ)，右旋蝸桿副K^I=ctgγ、 X^Ⅱ=0、K^Ⅱ=0、X^Ⅱ=-r₁′。左旋蝸桿副K^I=-ctgγ、X^I=0、K^Ⅱ=0，X^Ⅱ=-r₁′，如圖4-31所示。

嚙合樞紐線
圓弧圓柱蝸桿(ZC蝸桿)副的嚙合面是空間曲面，若用平行于蝸桿副中間平面的平面去截，則可得到四條截直線，稱這四條直線為嚙合樞紐線。其中有兩條和嚙合軸Ⅰ-Ⅰ相交，稱上嚙合樞紐線；有兩條和嚙合軸Ⅱ-Ⅱ相交稱下嚙合樞紐線。嚙合樞紐線與蝸桿端平面的交點稱嚙合樞紐點，用A、B、C、D表示(見圖4-32)。嚙合樞紐線的性質有：它們是平行于蝸桿軸線的直線，其位置是和蝸桿副運動參數無關的空間直線；上嚙合樞紐點C、D對稱于中間平面，下嚙合樞紐線A、B不對稱于中間平面，嚙出側的一根嚙合樞紐線靠近中間平面；橫向接觸線，一類界限線都通過嚙合樞紐線，所以可通過嚙合樞紐線的位置來判斷接觸線形狀的優劣與是否發生根切。

接觸線特性角
橫向接觸線通過嚙合樞紐點，圖4-33∠AOB反映了A、B兩點之間的距離大小，越小，接觸線形狀越陡，越有利于動壓油膜的形成，所以角∠AOB=β的大小，可以大致表示接觸線形狀和其優劣，故稱β角為接觸線特性角。圖4-33示：


線接觸制齒輪副
按照共軛嚙合理論，設計成的線嚙合齒輪副。它在嚙合過程中，瞬時相嚙齒面呈現線接觸。其特點是：接觸線的集合形成有效齒面；具有橫向重合度和縱向重合度(可能為零)。如漸開線圓柱齒輪副等。

點嚙合齒輪副
齒輪副在工作過程中，瞬時相嚙齒面呈現點接觸，這類齒輪副統稱點嚙合齒輪副。其特點是接觸點的集合在齒面上僅形成一條(或兩點)接觸線，不形成齒輪的可用齒面，另外也只有縱向重合度。它包括點嚙合制齒輪副、交錯軸斜齒圓柱齒輪副、失配嚙合蝸桿副等。

點嚙合制齒輪副
按照齒輪共軛嚙合理論，設計成的點嚙合齒輪副。它是齒輪嚙合理論中的一個分支。點嚙合制齒輪副在工作過程中，呈現點接觸。其特點是：接觸點的集合僅形成一條接觸線，不形成齒輪的可用齒面；僅有縱向重合度。它可分為單點嚙合齒輪副和雙點嚙合齒輪副，如圓弧齒輪副等。

失配嚙合制
用間接展成法加工出來的配對蝸桿與蝸輪組成的蝸桿副的嚙合，統稱失配嚙合。所謂間接是指：工藝參數、齒形參數、嚙合參數與蝸桿(或蝸輪)或蝸桿副發生了變化。廣義上講，間接展成的蝸輪與圓柱蝸桿的嚙合；修正型“環面蝸桿”與蝸輪的嚙合等都可稱失配嚙合。狹義的如錐面(或柱面)包絡環面蝸桿與直廓環面蝸桿配對蝸輪的嚙合；漸開線圓柱齒輪與平面包絡環面蝸桿的嚙合等。失配嚙合可改善安裝條件、嚙合特性、潤滑條件與對制造誤差的敏感性。

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