嚙合原理·曲線與曲面

圓的漸開線(漸開線)
在平面上，一條動直線(發生線)沿一個固定圓(基圓)作純滾動時，該動直線上每一點都形成一條平面軌跡線，這些軌跡線都叫做圓的漸開線，簡稱漸開線(圖4-34 a)。漸開線有如下特點：基圓以內沒有漸開線；圖a中 ；漸開線上各點處的曲率中心都落在基圓上，即基圓是漸開線的漸屈線；漸開線各點處的曲率半徑等于p_i=r_isina_i=r_btga_i（圖4-34 b）；漸開線各點處的法線都和基圓相切，其切點即該點的漸開線曲率中心；同一基圓上的同向漸開線是等距曲線，不同方向的漸開線也是等距曲線；漸開線上各點處的壓力角a_i是變化的，壓力角和該點處徑矢長的關系是：r_b=r_icosa_i，a_b=0；漸開線的形狀僅受基圓大小的影響(圖4-34 c)；令漸開線在任意點處的展角為θ_i，則θ_i=tga_i-a_i=inva_i，這里稱inva_i為漸開線函數。
當取一段漸開線作為齒輪輪齒側面齒廓時，這個齒輪稱漸開線齒輪。

伸漸開線
在平面上，一條動直線(發生線)，沿一固定圓(基圓)作純滾動時，與圓心同居于動直線一側，并與動直線固連在一起的點M，在平面上的軌跡線，稱延伸漸開線(圖4-35)。由圖示h=r_b時延伸漸開線蛻化成阿基米德螺線；h=0時即圓的漸開線。

縮短漸開線
在平面上，一條動直線(發生線)沿一個固定圓作純滾動時，與圓心分別居于動直線各一側(不同側)并與動直線固連在一起的點M在平面上的軌跡線，稱縮短漸開線。由圖4-36知當h=0時即圓的漸開線。

漸開線函數表
在圓的漸開線上，各點處的展角θ_i是該點處壓力角a_i的函數，即θ_i=tga_i-a_i=inva_i(弧度)稱漸開線函數。用漸開線函數制訂的表格稱漸開線函數表。該表是設計漸開線齒輪最常用的表格。

漸開線泛方程
圓的漸開線、延伸漸開線、縮短漸開線的通用數學方程式，稱漸開線泛方程。若用極坐標可表示為：

式中，φi=θi+ai，“i”表示任意點，“-”用于延伸漸開線，“+”用于縮短漸開線。當h=0時為漸開線，rb=h時為阿基米德螺線。(參考圖4-34 b、圖4-35、圖4-36)

漸開線直角坐標方程式
漸開線直角坐標方程式，在齒輪中有較多用途。如圖4-37所示

式中，φ_i=θ_i+a_i=inva_i+a_i

漸開面
動平面沿固定圓柱面(基圓柱面)作純滾動時，該動面上，一條與圓柱母線相重合的直線，所形成的軌跡面稱圓柱漸開面，簡稱漸開面(圖4-38)。

漸開螺旋面
動平面沿一個固定圓柱面(基圓柱面)作純滾動時，該動平面上，一條與圓柱面母線相交成β_b角的直線所形成的軌跡面(圖4-39)，稱圓柱漸開螺旋面，簡稱漸開螺旋面。其端面廓線為圓的漸開線，同樣，當其端平面內的圓的漸開線，沿基圓柱面作螺旋運動時，其軌跡面亦為漸開螺旋面。

球面漸開線
一個平面(發生面)沿著一個固定圓錐面(基錐面)作純滾動時，該平面上任意點的軌跡線，都位在一個固定的球面上，這個球面上的軌跡線，稱球面漸開線。

球面漸開螺旋面
一個動平面(發生面)，沿著一個固定圓錐面(基錐面)作純滾動時，該平面上與固定圓錐的軸線相交，并呈角度β_b的直線所形成的軌跡面，稱球面漸開螺旋面(圖4-40)。

阿基米德螺線
動點沿一條直線作等速移動，同時直線又繞與其相交的軸線作等角速度轉動，此時動點的軌跡線稱阿基米德螺線(圖4-41 a)。阿基米德螺線又是延伸漸開線的特例，即h=r_b時的延伸漸開線(圖4-41 b)。圓柱端面內的阿基米德螺線沿圓柱面作螺旋運動，形成阿基米德螺旋面，即阿基米德圓柱鍋桿的齒面。

阿基米德螺旋面
動直線以恒定的角度與一條固定的直線(軸線)相交，并沿此軸線方向作等速移動時，又繞此軸線作等角速度的旋轉運動，此動直線在固定空間內的運動軌跡曲面稱阿基米德螺旋面。如阿基米德蝸桿的齒面就是阿基米德螺旋面。另外一條動阿基米德螺線，繞垂直所在平面的固定直線(軸線)作螺旋運動，則動阿基米德螺線的軌跡面亦是阿基米德螺旋面。

擺線
在平面上，一個動圓(發生圓)沿一條固定線(基線)作純滾動，這時固定在動圓徑向線 上的點M的軌跡線稱廣義擺線。令 =h，動圓半徑為r，則：r=h時M點的軌跡線稱擺線(圖4-42 a)；h＜r時M點的軌跡線稱短幅擺線(圖4-42 b)； h＞r時M點的軌跡線稱長幅擺線(圖4-42 c)。廣義擺線方程式為：

外擺線
在平面上，一個動圓(發生圓)，沿著一個固定圓(基圓)的外側，作外切或內切的純滾動時，動圓上任意點的軌跡線，稱外擺線(圖4-43)。

長幅擺線
見“擺線”。

長幅外擺線
在平面上，當一個動圓(發生圓)沿著一個固定圓(基圓)的外側，作內切或外切的純滾動時，位于外切的動圓之外，或位于內切的動圓之內，并與動圓固連的M點的軌跡線，稱長幅外擺線。見圖4-44。

短幅外擺線
在平面上，一個動圓(發生圓)沿著一個固定圓(基圓)的外側，作外切或內切的純滾動時，位于作外切動圓之內，內切動圓之外，并與動圓相固連的點M的軌跡線，稱為短幅外擺線。見圖4-45。

廣義外擺線
在平面上，一個動圓(發生圓)沿著一個固定圓(基圓)的外側，作外切或內切的純滾動，這時固定在動圓的徑向線oM上的點的軌跡線稱廣義外擺線。令動圓半徑為r，動圓相對基圓轉角為θ，則廣義外擺線方程式為：
式中，h=oM 。

廣義擺線
見“擺線”。

內擺線
見“廣義內擺線”。

廣義內擺線
在平面上，一個動圓(發生圓)沿著一個固定圓(基圓)的內側作滾動時，固定在動圓上的點M，所形成的軌跡線，稱廣義內擺線。
令oM=h，動圓半徑為r，則h=r時M點的軌跡線稱內擺線；h＞r時M點的軌跡線稱長幅內擺線；h＜r時M點的軌跡線稱短幅內擺線(圖4-46)。廣義內擺線方程式為：
式中，θ表示動圓相對固定圓轉過的有向角。

長幅內擺線
見“廣義內擺線”。

短幅內擺線
見“廣義內擺線”。

點的螺旋運動
動點沿一旋轉面的母線以速移動，同時該母線又繞其軸線以角速度轉動，這時動點的運動稱點的螺旋運動(圖4-47)。動點的軌跡線稱該旋轉面的螺旋線。若、都為常數，則動點的軌跡線稱等導程螺旋線，否則，稱變導程螺旋線。螺旋線分左旋和右旋兩種，可用左、右手定則判斷。右旋螺旋線的螺旋參數為正，左旋螺旋線的螺旋參數為負。

圓柱螺旋線(螺旋線)
動點在圓柱面上作螺旋運動形成的軌跡線稱圓柱螺旋線(圖4-48)，簡稱螺旋線。它是圓錐螺旋線的特例。分等導程和變導程兩種，亦有左、右旋之分。

圓錐螺旋線
動點在圓錐面上作螺旋運動形成的螺旋線(圖4-49)�？煞譃榈葘С毯妥儗С虄煞N，亦有左、右旋之分。

變導程螺旋線
在旋轉面上，一動點P繞旋轉面軸線以角速度 勻速轉動，同時又沿旋轉面的母線變速移動，則P點在旋轉面上的軌跡線稱為變導程螺旋線。

柱面等導程螺旋線
圓柱面上一動點P，按給定的角速度繞圓柱面的軸線勻速轉動，同時又以速度沿圓柱面母線方向勻速移動，則動點P在圓柱面上的軌跡線稱為柱面等導程螺旋線。它是錐面等導程螺旋線的特例。是圓柱螺旋線的一種(圖4-50)。

柱面變導程螺旋線
圓柱面上一動點P，按照給定的角速度繞其軸線勻速轉動，同時又沿圓柱面母線作變速移動，這時動點P的運動軌跡線，稱為柱面變導程螺旋線。它是錐面變導程螺旋線的特例。是圓柱螺旋線的一種。

錐面等導程螺旋線
圓錐面上一動點P，按給定的角速度繞圓錐面軸線勻速轉動，同時又以勻速v沿圓錐母線方向移動，這時P點在圓錐面上的軌跡線稱為等導程螺旋線(圖4-51)。

螺旋角
螺旋線上某點M的切線與過該點旋轉面母線之間所夾的銳角β。見圖4-52。
螺旋線上某點M處的螺旋角與該點處的導程角γ互為余角，即γ+β＝90°。

螺旋參數
單位弧度的螺旋導程。亦即動點作螺旋運動時，當繞轉一個弧度時，沿移動方向(v方向)走過的距離。圓柱蝸桿的螺旋參數計算式為


線的螺旋運動
與旋轉面不相貼合的一條動線，沿著旋轉面的一條母線方向移動(速度為)，同時旋轉面母線又繞其軸線以角速度轉動，這時動線的運動稱線的螺旋運動，動線的軌跡面則稱該旋轉面的螺旋面。分左、右兩種螺旋面，又有等導程螺旋面和變導程螺旋面之分。

圓柱螺旋面(螺旋面)
與圓柱面不相貼合的一條動線，在圓柱面上作螺旋運動，形成的軌跡面(圖4-53)。簡稱螺旋面。分等導程和變導程兩種，亦有左、右旋之分。

圓錐螺旋面
與圓錐面不相貼合的一條動線，在圓錐面上作螺旋運動形成的軌跡面。分等導程和變導程兩種，亦有左、右旋之分。

過渡曲線
齒輪齒廓曲線分三段，如圖4-54所示段是刀具刃廓的包絡線，稱過渡曲線，為輪齒根線。過渡曲線是由展成法加工齒輪時，刀具刃頂圓弧或刃頂棱角形成的，用齒條刀具加工漸開線齒輪時，其過渡曲線一般為長幅漸開線。當沒有根切現象時，齒廓三段曲線光滑連接。

漸屈線
一條給定的曲線Γ，其漸屈線是指該曲線上各點處曲率中心的集合線，如漸開線的漸屈線是基圓線，圖4-55所示。

旋輪曲線
設齒輪1的齒廓上有1固定點M，當齒輪1的瞬心線在齒輪2的瞬心線上純滾動時，M點的軌跡線就是與齒廓1相嚙合的齒廓2，這樣形成的齒廓曲線稱旋輪曲線，旋輪曲線的法線總通過節點P。

等距曲面
在曲面∑上的任意點P，在曲面∑_h上都有對應點P_h，且對應點的連線=h沿兩曲面公法線方向的長度不變，則定義∑、∑_h為等距曲面。

等距共軛曲面
共軛曲面∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾的等距曲面分別為∑⁽¹⁾_h、∑⁽²⁾_h這時若等距參數h⁽¹⁾=h⁽²⁾，則∑⁽¹⁾_h和∑⁽²⁾_h亦是共軛曲面，稱∑⁽¹⁾_h、∑⁽²⁾_h為∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾的等距共軛曲面。當h變化時，可組成無數多個等距共軛曲面。

環面
設任意給定一段曲線Γ，令一圓c的中心o沿該曲線運動，若過圓心垂直于圓平面的法矢總沿曲線Γ的切線方向，則圓c的軌跡曲面F稱為以Γ曲線為基線的環面。c圓稱環面的母圓(發生圓)，Γ線稱環面的基線。

可展曲面
若直紋曲面，沿著每一條母線只有一個切面，這種直紋曲面稱可展曲面。如圓柱面、錐面、切線曲面等都是可展曲面。

母面
用于展成齒輪齒面的產形面(刀具刃面)稱母面。母面的幾何特性不但決定了齒面的幾何形狀，而且將明顯影響齒輪副的嚙合特性和承載能力大小。

圓環面
一個動圓(稱母圓)圍繞位于其圓周之外的同一平面上的直線(稱軸線)，作旋轉運動時，該動圓在固定空間內(靜坐標系內)的軌跡曲面稱圓環面(圖4-56)。
圓環面被其軸平面所截得的截線圓是母圓。母圓圓心的軌跡線是一個圓，稱中性圓。包含中心圓，垂直旋轉軸線a-a的平面稱中間平面。圓環面被中間平面所截得的兩個圓中，其小者稱圓環面的內圓。

直紋曲面
由一族連續變化的直線形成的曲面。簡稱直紋面，其中每一條直線都稱直紋面的曲紋(圖4-57a、b)。

中界曲面
用間接展成法加工齒輪齒面時，刀具刃面稱中界曲面。亦即若和齒面∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾相固連的動坐標σ⁽¹⁾、σ⁽²⁾的運動條件已知，可求得一個和動坐標σ⁽³⁾相固連的齒面∑⁽³⁾。當∑⁽³⁾與∑⁽¹⁾、∑⁽³⁾與∑⁽²⁾，按給定條件運動時，可由∑⁽³⁾包絡出∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾，這時若齒面∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾在給定條件下，在一定范圍內可共軛嚙合，則和σ⁽³⁾固連的曲面∑⁽³⁾稱中界曲面。

平面矢方程
用矢量表示的平面方程式稱平面矢方程。設π平面位在σ坐標系中，平面上有一定點P0，其徑矢為₀，平面上任意點P的徑矢為，若平面的法矢為(圖4-58)，則平面π的矢方程可寫成：·（-₀）=0

切線曲面
一條曲線Γ 的切線所形成的曲面，稱切線曲面。設曲線Γ的參數矢方程為Γ：=(t)，則Γ的切線曲面方程為=(t₀)+u(t)，式中u為切線參數。見圖4-59。

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